Nawar Syarif

Momen Inersia Segitiga

Menghitung Momen Inersia Segitiga
Setelah membahas perhitungan momen inersia bentuk persegi, kali ini kita akan coba hitung sendiri momen inersia segitiga, soalnya bentuk ini juga merupakan bentuk geometri dasar yang banyak digunakan.
Khusus untuk structural engineering, bentuk penampang segitiga mungkin sangat jarang digunakan untuk dijadikan penampang elemen struktur. Bentuk trapesium sendiri bisa dikatakan gabungan dari lebih dari satu penampang persegi dan atau penampang segitiga.
Trapesium sebagai bentuk gabungan segitiga-segitiga

Trapesium sebagai bentuk gabungan segitiga-segitiga

Penampang balok jembatan biasanya paling banyak menggunakan bentuk-bentuk gabungan persegi dan segitiga.
Penampang balok girder jembatan

Sementara bentuk segitiga terpancung, bisa kita lihat pada salah satu pondasi tipe minipile (pondasi tiang pancang yang ukurannya penampangnya relatif kecil).

Pondasi minipile penampang segitiga

Momen Inersia Segitiga
Bentuk dasar segitiga secara umum bisa digambarkan sebagai segitiga siku-siku. Bentuk-bentuk segitiga yang lain bisa diturunkan dari penggabungan atau pengurangan dua atau lebih segitiga siku-siku.

Kembali ke bentuk dasar, segitiga siku-siku dapat dikatakan mempunyai dua variabel utama, panjang alas $b$ , dan tinggi $h$ .
Ada dua cara menentukan persamaan momen inersia segitiga, yang pertama dengan cara menentukan momen inersia langsung di sumbu titik berat segitiga, dan yang kedua melalui transformasi momen inersia dari luar sumbu titik berat.
A. Cara I

Kami rasa kita tidak perlu bersusah payah mencari lokasi titik berat segitiga, soalnya sudah jadi rahasia umum kalau titik berat segitiga selalu berada pada sepertiga lebar alas dan sepertiga tinggi.
Kita akan menentukan formula momen inersia terhadap sumbu x ( $I_{xx}$ ).
Selanjutnya kita ikuti prosedur di bawah:

Tentukan lokasi garis berat sejajar sumbu x.
Buat elemen $dA$ pada jarak tertentu dari sumbu x, katakanlah jaraknya adalah $y$ . Elemen $dA$ tersebut mempunyai lebar $b_y$ dan tinggi $dy$
$dA = b_y dy$
Besarnya $b_y$ berbeda-beda untuk setiap nilai $y$ .
Jika $y = - \dfrac{h}{3}$ , maka $b_{y=\frac{-h}{3}} = b$ .
Jika $y = \dfrac{2h}{3}$ , maka $b_{y=\frac{2h}{3}} = 0$ .
Sehingga bisa dituliskan,
$\begin{array}{rl} \dfrac{b_y - b}{0 - b} &= \dfrac{y - \frac{-h}{3}}{\frac{2h}{3} - \frac{-h}{3}} \\ \\ b_y &= b - b \big( \dfrac{y + \frac{h}{3}}{h} \big) \\ \\ &= b - \dfrac{by}{h} - \dfrac{b}{3} \\\\ b_y &= b ( \dfrac23 - \dfrac{y}{h}) \end{array}$
Momen inersia $I_{xx}$
$\begin{array}{rl} I_{xx} &= \int_{\tfrac{-h}{3}}^{\tfrac{2h}{3}} y^2 \, \text{d}A \\\\ &= \int_{\tfrac{-h}{3}}^{\tfrac{2h}{3}} y^2 b_y \, \text{d}y \\\\ &= \int_{\tfrac{-h}{3}}^{\tfrac{2h}{3}} y^2 b \big( \dfrac23 - \dfrac{y}{h} \big) \text{d}y \\\\ &= \int_{\tfrac{-h}{3}}^{\tfrac{2h}{3}} \dfrac{2b}{3}y^2 - \dfrac{b}{h} y^3 \text{d}y \\\\ &= \dfrac{2b}{9}y^3 - \dfrac{b}{4h} y^4 \bigg|_{\tfrac{-h}{3}}^{\tfrac{2h}{3}} \\\\ &= \dfrac{2b}{9} \bigg( \big( \dfrac{2h}{3} \big)^3-\big(\dfrac{-h}{3} \big)^3 \bigg) - \dfrac{b}{4h} \bigg( \big( \dfrac{2h}{3} \big)^4 - \big(\dfrac{-h}{3}\big)^4 \bigg) \\\\ &= \dfrac{2b}{9} \big( \dfrac{8h^3}{27} + \dfrac{h^3}{27} \big) - \dfrac{b}{4h} \big( \dfrac{16h^4}{81} - \dfrac{h^4}{81} \big) \\\\ &= \dfrac{2bh^3}{27} - \dfrac{5bh^3}{108} \\\\ I_{xx} &= \dfrac{bh^3}{36} \end{array}$

Jadi, momen inersia segitiga terhadap garis beratnya adalah $I_{xx} = \dfrac{bh^3}{36}$
B. Cara II
Cara kedua ini relatif lebih mudah daripada cara yang pertama. Jika cara pertama menggunakan garis berat sebagai sumbu acuan, kali ini kita akan menggunakan alas segitiga sebagai sumbu acuan.

Kita hitung dulu momen inersia terhadap alas segitiga di atas.

Prosedurnya hampir sama dengan cara I, namun yang membedakan adalah batas atas dan batas bawah pengintegralan. Pada cara yang kedua ini, batas atasnya adalah $y = h$ , dan batas bawahnya adalah $y = 0$ .
Menentukan $b_y$ .
$b_y = b-\dfrac{b}{h}y$
Hitung momen inersia $I_{x}$
$\begin{array}{rl} I_x &= \int_0^h y^2 \, \text{d}A \\\\ &= \int_0^h y^2 b_y \, \text{d}y \\\\ &= \int_0^h y^2 \big(b-\dfrac{b}{h}y\big) \, \text{d}y \\\\ &= \int_0^h by^2-\dfrac{b}{h}y^3 \\\\ &= \dfrac{b}{3}y^3 - \dfrac{b}{4h}y^4 \bigg|_0^h \\\\ &= \dfrac{bh^3}{3} - \dfrac{bh^3}{4} \\\\ I_x &= \dfrac{bh^3}{12} \end{array}$
Momen inersia di atas bukan momen inersia terhadap sumbu penampang. Jika ingin menentukan momen inersia pada sumbu penampang, $I_{xx}$ , maka kita gunakan formula transformasi momen inersia:
$I_x = I_{xx} + A\bar{y}^2$ , dimana $\bar{y} = \frac{h}{3}$
Menghitung momen inersia terhadap sumbu netral:
$\begin{array}{rl} I_x &= I_{xx} + A\bar{y}^2 \\\\ \dfrac{bh^3}{12} &= I_{xx} + \big( \dfrac{bh}{2} \big) \big( \dfrac{h}{3} \big)^2 \\\\ I_{xx} &= \dfrac{bh^3}{12} - \dfrac{bh^3}{18} \\\\ I_{xx} &= \dfrac{bh^3}{36} \end{array}$

So,.. kesimpulannya.. untuk segitiga, $I_{xx} = \dfrac{bh^3}{36}$ .[]

Momen Inersia Juga Bisa Dikurangkan

Pada dasarnya, dalam operasi matematika khususnya geometri, sesuatu yang bisa dijumlahkan, tentu bisa juga dikurangkan. Atau dengan kata lain, pengurangan sama dengan penjumlahan negatif. Contohnya waktu mencari luas atau volume sebuah bentuk. Bentuk T misalnya.
Balok T

Luas bentuk T di atas bisa diperoleh dengan menjumlahkan persegi-persegi panjang yang menyusun bentuk T tersebut. Bisa dengan cara ini:

atau yang ini:
Balok T3

Atau, bisa juga dengan mengurangkan bentuk-bentuk persegi seperti gambar di bawah ini.
Balok T(4)

Cara apapun yang digunakan, tentu hasilnya akan sama.
Begitu pula dengan momen inersia.
Untuk mencari momen inersia sebuah bangun yang kompleks, kita dapat menghitungnya dengan menggunakan persamaan
$I = \Sigma (I_0 + Ay^2) &s=-2$
Notasi $\Sigma &s=-2$ di atas menunjukkan penjumlahan komponen-komponen penyusunnya. Karena bisa dijumlahkan, tentu operasi pengurangan juga bisa digunakan. Mari kita lihat contohnya.
Misalkan ada bentuk penampang hollow (RHS, Rectangular Hollow Section) seperti gambar di bawah (lengkungan untuk sementara kita abaikan).

Kita akan menuentukan momen inersia terhadap sumbu-X penampang dengan dua cara: penjumlahan dan pengurangan.
A. Penjumlahan
Penampang tersebut bisa kita tuliskan sebagai RHS 60x40x3, tinggi 60 mm, lebar 40 mm, dan tebal 3mm.
RHS itu kita bagi menjadi 4 persegi, seperti gambar di bawah. Dan masing-masing persegi kita hitung dimensinya, luasnya, dan momen inersia dasarnya.
RHS

Perhitungan lengkapnya bisa dilihat pada tabel di bawah:

no	$A &s=-2$	$\bar{y} &s=-2$	$I_{x0} &s=-2$	$A\bar{y}^2 &s=-2$
1	$3 \times 60 = 180 &s=-2$	$0 &s=-2$	$\dfrac{3 \times 60^3}{12} = 54000 &s=-2$	$0 &s=-2$
2	$3 \times 60 = 180 &s=-2$	$0 &s=-2$	$\dfrac{3 \times 60^3}{12} = 54000 &s=-2$	$0 &s=-2$
3	$34 \times 3 = 102 &s=-2$	$30 - 1.5 = 28.5 &s=-2$	$\dfrac{34 \times 3^3}{12} = 76.5 &s=-2$	$102 \times 28.5^2 = 82849.5 &s=-2$
4	$34 \times 3 = 102 &s=-2$	$30 - 1.5 = 28.5 &s=-2$	$\dfrac{34 \times 3^3}{12} = 76.5 &s=-2$	$102 \times 28.5^2 = 82849.5 &s=-2$
			$\Sigma = 108153 &s=-2$	$\Sigma = 165699 &s=-2$

Sehingga momen inersia penampang di atas adalah, $I_x = 273852 \; \text{mm}^\text{4} &s=-2$
B. Pengurangan
Sekarang kita gunakan cara pengurangan. RHS di atas bisa dibentuk dari pengurangan dua buah persegi A dan B seperti gambar di bawah:
RHS kurang

Dengan cara yang sama dengan di atas, kita membuat perhitungan untuk bangun 1 dan 2. Sehingga, untuk RHS momen inersianya adalah:
$I_x = (I_{01} + A_1\bar{y}_1^2) - (I_{02} + A_2\bar{y}_2^2) &s=-2$
Karena titik berat kedua persegi tersebut berimpit, maka nilai $\bar{y} &s=-2$ untuk keduanya sama dengan 0 (nol).
Sehingga,
$\begin{array}{rl} I_x &= \left( \dfrac{40 \times 60^3}{12} + 40 \times 60 \times 0^2 \right) - \left( \dfrac{34 \times 54^3}{12} + 34 \times 54 \times 0^2 \right) \\\\ &= 720000 - 446148 \\\\ &= 273852 \text{mm}^\text{4} \end{array} &s=-2$
Hasilnya sama bukan?[]

Jenis -jenis Semen

Sesuai dengan kebutuhan pemakai, maka para pengusaha industri semen berusaha untuk memenuhinya dengan berbagai penelitian, sehingga ditemukan berbagai jenis semen.

Semen Portland
Water proofed cement
Semen Putih
High Alumina Cement
Semen Anti Bakteri
Oil Well Cement (OWC)
Semen Campur

SEMENT PORTLAND (OPC)

Semen portland diklasifikasikan dalam lima tipe yaitu :
1. Tipe I (Ordinary Portland Cement)

Semen Portland untuk penggunaan umum yang tidak memerlukan persyaratn khusus seperti yang dipersyaratkan pada tipe-tipe lain.

Tipe semen ini paling banyak diproduksi dan banyak dipasaran

2. Tipe II (Moderate sulfat resistance)

Semen Portland yang dalam penggunaannya memerlukan ketahanan terhadap sulfat atau panas hidrasi sedang. Tipe II ini mempunyai panas hidrasi yang lebih rendah dibanding semen Portland Tipe I. Pada daerah–daerah tertentu dimana suhu agak tinggi, maka untuk mengurangi penggunaan air selama pengeringan agar tidak terjadi Srinkege (penyusutan) yang besar perlu ditambahkan sifat moderat “Heat of hydration”. Semen Portland tipe II ini disarankan untuk dipakai pada bangunan seperti bendungan, dermaga dan landasan berat yang ditandai adanya kolom-kolom dan dimana proses hidrasi rendah juga merupakan pertimbangan utama.

3. Tipe III (High Early Strength)

Semen Portland yang dalam penggunaannya memerlukan kekuatan yang tinggi pada tahap permulaan setelah pengikatan terjadi. Semen tipe III ini dibuat dengan kehalusan yang tinggi blaine biasa mencapai 5000 cm²/gr dengan nilai C3S nya juga tinggi. Beton yang dibuat dengan menggunakan semen Portland tipe III ini dalam waktu 24 jam dapat mencapai kekuatan yang sama dengan kekuatan yang dicapai semen Portland tipe I pada umur 3 hari, dan dalam umur 7 hari semen Portland tipe III ini kekuatannya menyamai beton dengan menggunakan semen portlan tipe I pada umur 28 hari

4. Tipe IV (Low Heat Of Hydration)

Semen Portland yang dalam penggunaannya memerlukan panas hidrasi rendah. Penggunaan semen ini banyak ditujukan untuk struktur Concrette (beton) yang massive dan dengan volume yang besar, seprti bendungan, dam, lapangan udara. Dimana kenaikan temperatur dari panas yang dihasilkan selama periode pengerasan diusahakan seminimal mungkin sehingga tidak terjadi pengembangan volume beton yang bisa menimbulkan cracking (retak). Pengembangan kuat tekan (strength) dari semen jenis ini juga sangat lambat jika dibanding semen portland tipe I

5 Tipe V (Sulfat Resistance Cement)

Semen Portland yang dalam penggunaannya memerlukan ketahanan tinggi terhadap sulfat. Semen jenis ini cocok digunakan untuk pembuatan beton pada daerah yang tanah dan airnya mempunyai kandungan garam sulfat tinggi seperti : air laut, daerah tambang, air payau dsb

WATER PROOFED CEMENT

Water proofed cement adalah campuran yang homogen antara semen Portland dengan “Water proofing agent”, dalam jumlah yang kecil seperti : Calcium, Aluminium, atau logam stearat lainnya.Semen ini banyak dipakai untuk konstruksi beton yang berfungsi menahan tekanan hidrostatis, misalnya tangki penyimpanan cairan kimia.

WHITE CEMENT (SEMEN PUTIH)

Semen putih dibuat umtuk tujuan dekoratif, bukan untuk tujuan konstruktif. Pembuatan semen ini membutuhkan persyaratan bahan baku dan proses pembuatan yang khusus, seperti misalnya bahan mentahnya mengandung oksida besi dan oksida manganese yang sangat rendah (dibawah 1 %).

HIGH ALUMINA CEMENT

High Alumina cement dapat menghasilkan beton dengan kecepatan pengersan yang cepat dan tahan terhadap serangan sulfat, asam akan tetapi tidak tahan terhadap serangan alkali. Semen tahan api juga dibuat dari High Alumina Cement, semen ini juga mempunyai kecepatan pengerasan awal yang lebih baik dari semen Portland tipe III. Bahan baku semen ini terbuat dari batu kapur dan bauxite, sedangkan penggunaannya adalah antara lain :

Rafractory Concrette
Heat resistance concrete
Corrosion resistance concrete

SEMEN ANTI BAKTERI

Semen anti bakteri adalah campuran yang homogen antara semen Portland dengan “anti bacterial agent” seperti germicide. Bahan tersebut ditambahkan pada semen Portland untuk “Self Desinfectant” beton terhadap serangan bakteri dan jamur yang tumbuh. Sedangkan sifat-sifat kimia dan fisiknya hampir sama dengan semen Portland tipe I. Penggunaan semen anti bakteri antara lain :

Kamar mandi
Kolam-kolam
Lantai industri makanan
Keramik
Bangunan dimana terdapat jamur pathogenic dan bakteri

OIL WELL CEMENT

Oil well cement adalah semen Portland semen yang dicampur dengan bahan retarder khusus seperti asam borat, casein, lignin, gula atau organic hidroxid acid. Fungsi dari retarder disini adalah untuk mengurangi kecepatan pengerasan semen, sehingga adukan dapat dipompakan kedalam sumur minyak atau gas. Pada kedalaman 1800 sampai dengan 4900 meter tekanan dan suhu didasar sumur minyak atau adalah tinggi. Karena pengentalan dan pengerasan semen itu dipercepat oleh kenaikan temperature dan tekanan, maka semen yang mengental dan mengeras secara normal tidak dapat digunakan pada pengeboran sumur yang dalam. Semen ini masih dibedakan lagi menjadi beberapa kelas sesuai dengan API Spesification 10 1986, yaitu :

KELAS A	Digunakan untuk sumur sampai dengan kedalaman 1830 meter, *apabila sifat-sifat khusus tidak dipersyaratkan*
KELAS B	Digunakan untuk sumur sampai dengan kedalaman 1830 meter, *apabila kondisi membutuhkan tahan terhadap sulfat sedang*
KELAS C	Digunakan untuk sumur sampai dengan kedalaman 1830 meter, *apabila kondisi membutuhkan sifat kekuatan tekan awal yang tinggi*
KELAS D	Digunakan untuk sumur sampai dengan kedalaman 1830 sampai 3050 meter, dengan *kondisi suhu dan tekanan yang sedang*
KELAS E	Digunakan untuk sumur sampai dengan kedalaman 3050 sampai 4270 meter, dengan *kondisi suhu dan tekanan yang tinggi*
KELAS F	Digunakan untuk sumur sampai dengan kedalaman 3050 sampai 4880 meter, dengan *kondisi suhu dan tekanan yang tinggi*
KELAS G	Digunakan untuk cementing mulai surface casing sampai dengan kedalaman 2440 meter, akan tetapi dengan penambahan *accelerator* atau *retarder*. Dapat digunakan untuk semua range pemakaian, mulai dari kelas A sampai kelas E

BLENDED CEMENT (SEMEN CAMPUR)

Semen campur dibuat karena dibutuhkannya sifat-sifat khusus yang tidak dimiliki oleh semen portland. Untuk mendapatkan sifat khusus tersebut diperlukan material lain sebagai pencampur.Jenis semen campur :

Semen Portland Pozzolan (SPP)
Portland Pozzolan Cement (PPC)
Portland Blast Furnace Slag Cement
Semen Mosonry
Semen Portland Campur (SPC)
Portland Composite Cement (PCC)

Semen Portland Pozzolan (SPP)/(PPC)

Semen Portland pozzolan (SPP) atau dikenal juga sebagai Portland Pozzolan Cement (PPC) adalah merupakan semen hidrolisis yang terdiri dari campuran yang homogen antara semen Portland dengan bahan pozzolan (Trass atau Fly Ash) halus, yang diproduksi dengan menggiling klinker semen Portland dan bahan pozzolan bersama-sama atau mencampur secara merata semen Portland dan bahan pozzolon atau gabungan antara menggiling dan mencampur.

Portland Blast Furnace Slag Cement

Portland Blast Furnace Slag Cement adalah semen Portland yang dicampur dengan kerak dapur tinggi secara homogen dengan cara mencampur bubuk halus semen Portland dengan bubuk halus slag atau menggiling bersama antara klinker porland dengan butiran slag. Activitas slag (Slag Activity) bertambah dengan bertambahnya ratio CaO + MgO/SiO₂ + Al₂O₃ dan glass content. Tetapi biasanyan keberadaan ratio oksida dan glass Content tersebut saling berkebalikan. Beberapa sifat slag semen adalah sabagai berikut :

1. Jika kehalusannya cukup, mempunyai kekuatan tekan yang sama dengan semen portland.
2. Betonnya lebih stabil dari pada beton semen portland
3. Mempunyai permebility yang rendah

Semen Masonry

Semen masonry pertama kali diperkenalkan di USA, kemudian berkembang kebeberapa negara.Secara tradisional plesteran untuk bangunan umumnya menggunakan kapur padam, kemudian meningkat dengan dipakainya semen portland yang dicampur dengan kapur padam. Namun karena dianggap kurang praktis maka diperkanalkan Semen Masonry .

Portland Composite Cement (Semen Portland Campur)PCC -SPC

Menurut SNI 17064-2004, Semen Portland Campur adalah Bahan pengikat hidrolisis hasil penggilingan bersama sama terak (clinker) semen portland dan gibs dengan satu atau lebih bahan anorganik, atau hasil pencampuran antara bubuk semen portland dengan bubuk bahan bahan anorganik lain. Bahan anorganik tersebut antara lain terak tanur tinggi (blastfurnace slag), pozzoland, senyawa silika, batu kapur, dengan kadar total bahan anorganik 6 – 35 % dari massa semen portland composite. Menurut Standard Eropa EN 197-1 Portland Composite Cement atau Semen Portland Campur dibagi menjadi 2 Type berdasarkan jumlah Aditive material aktif

Type II/A-M mengandung 6 – 20 % aditif

Type II/B-M mengandung 21 – 35 % aditif

Kalau pada Portland Pozzolan Cement (Semen Portland Pozzolan) aditif yang digunakan hanya 1 jenis maka pada Portland Composite Cement ini aditif yang digunakan lebih dari 1 jenis atau 2 jenis maka semen ini dikelompokkan pada TERNARY CEMENT.