BAB I PENDAHULUAN
Dalam permasalahan non-linier,
terutama permasalahan yang mempunyai hubungan fungsi eksponensial dalam
pembentukan polanya dapat dianalisis secara eksperimental maupun
teoritis. Salah satu bagian dari analisa teoritis adalah dengan
melakukan komputasi dengan metode numerik. Metode numerik dalam
komputasi akan sangat membatu dalam menyelesaikan
permasalahan-permasalahan yang rumit diselesaikan secara aritmatika.
Metode numerik akan sangat membantu setiap penyelesaian permasalahan
apabila secara matematis dapat dibentuk suatu pola hubungan antar
variabel/parameter. Hal ini akan menjadi lebih baik jika pola hubungan
yang terbentuk dapat dijabarkan dalam bentuk fungsi. Ada sejumlah metode
numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan non-linear.
Dua diantaranya adalah metode Newton-Raphson
dan metode Titik Tetap.
dan metode Titik Tetap.
Pendekatan kedua metode yang
berbeda ini dalam menyelesaikan persoalan yang sama, bisa dikomparasikan
terhadap solusi akhir yang diperoleh. Kesesuaian nilai yang didapat
dalam kedua metode ini, menunjukkan bahwa hasil perhitungan yang
diperoleh adalah tepat. Secara komputasi, disamping ketepatan nilai
akhir dari suatu metode juga akan mempertimbangkan kecepatan iterasi
dalam perolehan hasil akhir. Kombinasi antara ketepatan dan kecepatan
iterasi dalam metode numerik merupakan hal yang penting dalam
penyelesaian permasalahan secara komputasi.
BAB II PEMBAHASAN
A. Sistem Persamaan Tak Linier
Sampai kini, kita telah memutuskan perhatian kita pada penentuan
akar-akar satu persamaan tunggal. Suatu masalah yang berkaitan adalah
melokasikan akar-akar himpunan persamaan taklinier,f1 (x1, x2, …, xn) = 0
f2 (x1, x2, …, xn) = 0
. .
. .
. .
fn (x1, x2, …, xn) = 0
Penyelesaian sistem ini terdiri dari himpunan nilai-nilai x yang secara simultat memberikan semua persamaan tersebut nilai yang sama dengan nol.
Di bagian tiga, kita akan menyajikan metode-metode untuk kasus dalam hal semua persamaan tersebut linear-yakni dapat dinyatakan dalam bentuk umum
f (x) = a1x1 + a2x2 + … + anxn - c = 0
Dengan c koefisien-koefisien adalah konstanta. Persamaan-persamaan aljabar dan trasenden yang tidak cocok dengan bentuk ini disebut persamaan taklinear. Misalnya,
x2 + xy =5
Dan
y + 2xy = 15
Adalah dua persamaan taklinear simultat dengan dua bilangan anu, . Persamaan-persamaan itu dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan sebagai,
u (x,y) = x2 + xy – 5 = 0
v (x,y) = y + 2xy – 15 = 0
Jadi, penyelesaian akan berupa nilai-nilai x dan y yang membuat fungsi u (x,y) dan v (x,y) sama dengan nol. Kebanyakan pendekatan untuk penentuan penyelesaian yang demikian merupakan perluasan dari metode-metode terbuka untuk menyelesaikan persamaan tunggal. Dalam pasal ini kita akan menyelidiki dua dari metode ini: iterasi satu titik dan Newton-Raphson.
B. Metode Lelaran Titik Tetap (iterasi satu titik)
Pendekatan iterasi satu titik dapat dimodifikasi untuk menyelesaikan dua persamaan linear yang simultan. Metode leleran titik tetap atau iterasi satu titik dengan dua persamaan memiliki dua prosedur lelaran yang pertama disebut dengan lelaran jacobi
xr+1 = g1 (xr,yr)
yr+1 = g2 (xr,yr) r = 0,1,2,….
kondisi berhentinya adalah |xr+1 - xr | < ɛ dan |yr+1 - yr | < ɛ . Kecepatan konvergensi leleran titik tetap ini dapat ditingkatkan dengan menggunakan lelaran seidel. Nilai xr+1 yang baru dihitung langsung dipakai untuk menghitung yr+1.
Jadi,
xr+1 = g1 (xr,yr)
yr+1 = g2 (xr+1,yr) r = 0,1,2,…
Pendekatan ini akan diilustrasikan dalam contoh berikut:
Iterasi satu titik untuk sistem tak linear
Pernyataan masalah : Dengan menggunakan satu titik untuk menentukan akar-akar persamaan
u (x,y) = x2 + xy – 5 = 0
v (x,y) = y + 2xy – 15 = 0
Perhatikan bahwa sepasang akar yang benar adalah x = 2 dan y = 3. Awali komputasinya dengan menebak x = 1 dan y = 2.
Penyelesaian : persamaan tersebut dapat dipecahkan
xr+1 = (5 - xr2 ) / yr
Dan persamaan dapat dipecahkan untuk
yr+1 = 15 – 2xryr
Pehatikan bahwa selanjutnya dalam contoh diatas kita akan membuang tikalas (subskrip).
Berdasarkan tebakan awal, persamaan dapat dipakai untuk menentukan nilai x yang baru:
x = (5 – 12) / 2 = 2
Hasil ini dan nilai y = 2 dapat disubstitusikan ke dalam persamaan untuk menentukan nilai y yang baru:
y = 15 – (2)(2) = 11
Jadi, pendekatan tersebut kelihatannya divergen. Prilaku ini lebih jelas lagi pada iterasi yang kedua
x = (5 – 22) / 11 = 0
y = 15 – 2 (2)(0) = 15
Jelas pendekatannya semakin buruk.
Sekarang kita akan mengulangi komputasinya tetapi dengan persamaan semula disusun dalam bentuk berbeda. Misalnya, perumusan lain persamaan adalah:
x = (5 – xy)1/2
Dan persamaan
y = (15 – y) / 2x
x = (5 – 1(2))1/2 = 1,73
y = (15 – 2) / 2(1,73) = 13,27
x = (5 – (1,73)(13,27))1/2 = imajiner
Karena pendekatannya semakin buruk maka kita ulang kembali kumputasinya dengan persamaan yang berbeda. Misalnya
x = 5 / (x+y)
Dan persamaan
y = 15 / (1+2x)
x = 5 / (1+2) = 1,667
y = 15 / (1+2(1,667)) = 3,461
x = 5 / (1,667+3,461) = 0,975
y = 15 / (1+2(0,975)) = 5,05
Jadi, pendekatan konvergen ke nilai-nilai sejati x = 0 dan y = 6.
Contoh sebelum ini
menggambarkan kekurangan yang paling serius dari iterasi satu-titik
sederhana yakni bahwa kekonvergenan karap kali tergantung pada bagaimana
persamaan-persamaan itu dirumuskan. Tambahan pula, sekalipun dalam
situasi dimungkinkannya kekonvergenan, dapat saja terjadi kedivergenan
jika tebakan awal tidak cukup dekat ke penyelesaian sejati. Dengan
penalaran yang serupa seperti diperagakan bahwa syarat yang perlu untuk
kekonvergenan adalah
… … … > 1Dan
… … … < 1
Kriteria ini demikian terbatas (restriktif) sehingga iterasi satu-titik jarang sekali dipakai dalam praktek.
Adapun algoritma dari metode lelaran titik tetap atau iterasi satu titik
- Tentukan x0, y0, dan epsilon.
- Masukkan persamaan x1 dan y1
- Jika |xr+1 - xr | < ɛ dan |yr+1 - yr | < ɛ maka iterasi berhenti
- Jika tidak maka kembali ke 2 dengan x1=x0 dan y1=y0;
- Tarik akar
- Selesai
clc;
clear;
x0=1;
y0=2;
epsilon=0.000001;
disp(‘Metode Titik Tetap untuk persamaan nirlanjar’)
disp(‘f1(x,y)=x^2 + xy – 5′);
disp(‘f2(x,y)=y + 2xy – 15′);
disp(‘r x y |x(r+1)-x(r)| |y(r+1)-x\y(r)|’);
for iterasi=1:100;
x=5/(x0+y0);
y=15/(1+2*x0);
fprintf(‘%3g %12.7f %12.7f %12.7f %12.7f\n’, iterasi, x, y, abs(x-x0),abs(y-y0));
if (abs(x-x0)
end;
x0=x;
y0=y;
end;
akar1=x;
akar2=y;
fprintf(‘Akar 1 adalah %10.7f\n’,x);
fprintf(‘Akar 2 adalah %10.7f\n’,y);
fprintf(‘Jumlah iterasi = %3g\n’, iterasi);
dan hasilnya
Metode Titik Tetap untuk persamaan nirlanjar
f1(x,y)=x^2 + xy – 5
f2(x,y)=y + 2xy – 15
r x y |x(r+1)-x(r)| |y(r+1)-x\y(r)|
1 1.6666667 5.0000000 0.6666667 3.0000000
2 0.7500000 3.4615385 0.9166667 1.5384615
3 1.1872146 6.0000000 0.4372146 2.5384615
4 0.6956798 4.4451962 0.4915348 1.5548038
5 0.9725969 6.2725824 0.2769171 1.8273861
6 0.6901141 5.0930435 0.2824828 1.1795389
7 0.8645796 6.3019170 0.1744655 1.2088735
8 0.6976910 5.4961983 0.1668886 0.8057188
9 0.8072472 6.2620494 0.1095563 0.7658511
10 0.7072839 5.7372468 0.0999633 0.5248026
11 0.7758517 6.2122917 0.0685677 0.4750449
12 0.7154976 5.8784262 0.0603541 0.3338654
13 0.7582738 6.1703123 0.0427762 0.2918861
14 0.7216479 5.9605467 0.0366259 0.2097656
15 0.7482572 6.1392482 0.0266092 0.1787015
16 0.7259522 6.0083773 0.0223049 0.1308709
17 0.7424644 6.1176934 0.0165122 0.1093161
18 0.7288462 6.0363902 0.0136182 0.0813032
19 0.7390725 6.1032861 0.0102263 0.0668959
20 0.7307422 6.0529147 0.0083303 0.0503714
21 0.7370656 6.0938840 0.0063234 0.0409692
22 0.7319627 6.0627344 0.0051029 0.0311496
23 0.7358680 6.0878469 0.0039053 0.0251125
24 0.7327387 6.0686093 0.0031293 0.0192375
25 0.7351484 6.0840144 0.0024097 0.0154050
26 0.7332278 6.0721450 0.0019205 0.0118694
27 0.7347136 6.0816012 0.0014858 0.0094563
28 0.7335342 6.0742831 0.0011794 0.0073181
29 0.7344498 6.0800909 0.0009156 0.0058078
30 0.7337252 6.0755812 0.0007246 0.0045097
31 0.7342892 6.0791497 0.0005640 0.0035685
32 0.7338438 6.0763718 0.0004454 0.0027779
33 0.7341911 6.0785651 0.0003473 0.0021933
34 0.7339173 6.0768545 0.0002738 0.0017106
35 0.7341312 6.0782029 0.0002138 0.0013484
36 0.7339628 6.0771497 0.0001684 0.0010532
37 0.7340945 6.0779789 0.0001316 0.0008291
38 0.7339909 6.0773306 0.0001035 0.0006483
39 0.7340719 6.0778405 0.0000810 0.0005099
40 0.7340083 6.0774415 0.0000637 0.0003990
41 0.7340581 6.0777551 0.0000499 0.0003136
42 0.7340190 6.0775095 0.0000392 0.0002456
43 0.7340496 6.0777024 0.0000307 0.0001929
44 0.7340255 6.0775513 0.0000241 0.0001511
45 0.7340444 6.0776700 0.0000189 0.0001187
46 0.7340296 6.0775770 0.0000148 0.0000930
47 0.7340412 6.0776500 0.0000116 0.0000730
48 0.7340321 6.0775928 0.0000091 0.0000572
49 0.7340392 6.0776377 0.0000071 0.0000449
50 0.7340336 6.0776025 0.0000056 0.0000352
51 0.7340380 6.0776301 0.0000044 0.0000276
52 0.7340346 6.0776085 0.0000035 0.0000217
53 0.7340373 6.0776255 0.0000027 0.0000170
54 0.7340352 6.0776121 0.0000021 0.0000133
55 0.7340368 6.0776226 0.0000017 0.0000105
56 0.7340355 6.0776144 0.0000013 0.0000082
57 0.7340366 6.0776208 0.0000010 0.0000064
58 0.7340357 6.0776158 0.0000008 0.0000050
Akar 1 adalah 0.7340357
Akar 2 adalah 6.0776158
Jumlah iterasi = 58
C. Newton Raphson
Mari kembali kita ingat kembali bahwa metode Newton-Raphson didasarkan pada pemakaian turunan (yakni kemiringan) suatu fungsi untuk menaksir pemotongan dengan sumbu peubah bebasnya-yakni akar. Taksiran ini didasarkan pada uraian deret Taylor
f (xr+1) = f(xr) + (xr+1 - xr)f’(xr)
Dimana xr adalah tebakan awal pada akarnya dan xr+1 adalah titik tempat garis singgung memotong sumbu x. pada perpotongan ini, f (xr+1) yang didefinisikan sama dengan nol, dapat disusun kembali untuk menghasilkan
f (xr+1) = xr - (f(xr) / f’(xr))
Yang merupakan bentuk persamaan tunggal dari Metode Newton Raphson.
Bentuk persamaan majemuk
diturunkan dalam gaya yang identik. Namun, deret Taylor dengan peubah
majemuk harus dipakai dengan tujuan memperhitungkan kenyataan bahwa
lebih dari satu peubah bebas penyumbang penentuan akar tersebut. Untuk
kasus dua peubah, deret Taylor orde pertama dapat dituliskan untuk
masing-masing persamaan linear sebagai
ur+1 = … … …Dan
vr+1 = … … …
Sama halnya seperti untuk versi persamaan tunggal, taksiran akar berpandangan dengan titik-titik pada mana ur+1 dan ur+1 sama dengan nol. Untuk situasi ini, persamaan dapat disusun ulang untuk memberikan
… … …
… … …
Karena hampir semua yang dengan tikalas r diketahui (berpandangan terhadap tebakan atau hamp[ir yang terakhir), yang tidak diketahui adalah xr+1 dan yr+1. Jadi, persamaan berupa himpunan dua persamaan linear dengan dua bilangan anu. Akibatnya, dapat deterapkan manupukasi aljabar (misalnya aturan Cramer) untuk memecahkan
… … …
… … …
Penyebut dari masing-masing persamaan ini secara formal diacu sebagai determinan jacobi dari sistem tersebut.Contoh pada persamaan
u (x,y) = x2 + xy – 5 = 0
v (x,y) = y + 2xy – 15 = 0
Jika persamaan ini dimasukkan dalam matlab maka
clc;
clear;
x0=1;
y0=2;
disp(‘Metode Newton Rapshon untuk persamaan nirlanjar’);
disp(‘f1(x,y)=x^2 + xy – 5′);
disp(‘f2(x,y)=y + 2xy – 15′);
disp(‘iterasi akar1 akar2′);
for iterasi=1:100;
x1=x0-(((x0.^2+x0*y0-5)*(1+2*x0)-(y0+2*x0*y0-15)*(x0))/((2*x0+y0)*(1+2*x0)-(x0)*(2*y0)));
y1=y0+(((x0.^2+x0*y0-5)*(2*y0)-(y0+2*x0*y0-15)*(2*x0+y0))/((2*x0+y0)*(1+2*x0)-(x0)*(2*y0)));
fprintf(‘ %3g %10.7f %10.7f\n’, iterasi, x1, y1);
if (abs(x1-x0)<0 .000001="" abs="" p="" y1-y0=""> break;
end;
x0=x1;
y0=y1;
end;
akar1=x1;
akar2=y1;
fprintf(‘Akar akarnya adalah %10.7f dan %10.7f\n’,akar1, akar2);
fprintf(‘Jumlah iterasi = %g\n’,iterasi);
dan hasilnya
Metode Newton Rapshon untuk persamaan nirlanjar
f1(x,y)=x^2 + xy – 5
f2(x,y)=y + 2xy – 15
iterasi akar1 akar2
1 0.6250000 5.5000000
2 0.7448308 6.0808271
3 0.7340693 6.0774838
4 0.7340361 6.0776180
5 0.7340361 6.0776180
Akar akarnya adalah 0.7340361 dan 6.0776180
Jumlah iterasi = 5
DAFTAR PUSTAKA
Chapra, Steven C. 1988. Metode Numerik jilid 1edisi kedua. Jakarta. Erlangga.
No comments:
Post a Comment