Nawar Syarif: 12/06/13

LOGARITMA

Logaritma merupakan fungsi invers dari eksponen.

Dengan a = bilangan pokok ,

yang merupakan invers (cerminan dari f(x) terhadap garis y = b) dari fungsi eksponen

, sehingga

mempunyai invers

I. Sifat-sifat Logaritma

a. Sifat Perkalian Logaritma

Perkalian logaritma samadengan penjumlahan logaritma dengan basis tetap.

b.Sifat Pembagian Logaritma

Jika hasil logaritma merupakan pembagian,hasilnya dapat diuraikan menjadi operasi pengurangan bilangan logaritma dengan basis tetap.

c. Sifat Perpangkatan Logaritma

Hasil operasi berupa bilangan logaritma berpangkat, dapat diuraikan sbb:

d. Sifat Penarikan Akar

Jika ada hasil operasi logaritma yang berbentuk akar, ubahlah terlebih dahulu menjadi bentuk pangkat untuk mempermudah penyelesaianya.

Beberapa Sifat Logaritma yang lain:

II. Persamaan Logaritma

III. Pertidaksamaan Logaritma

GEOMETRI TRANSFORMASI

1. Pengertian Transformasi Transformasi T dibidang adalah suatu pemetaan titik pada suatu bidang ke himpunan titik pada bidang yang sama.
Jenis-jenis transformasi yang dapat dilakukan antara lain :

Translasi (Pergeseran)
Refleksi (Pencerminan)
Rotasi (Perputaran)
Dilatasi (Perkalian)

2. Translasi dan Operasinya
Translasi (pergeseran) adalah pemindahan suatu objek sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu.
Jika translasi

memetakan titik P (x, y) ke titik P’(x’, y’) maka x’ = x + a dan y’ = y + b atay P’ (x + a, y + b ) ditulis dalam bentuk :

Contoh : Tentukan koordinat bayangan titik A (-3, 4) oleh translasi

Jawab :

A’ = ( -3 + 3, 4 + 6)

A’ = (0, 10)

3. Refleksi (Pencerminan)

a. Pencerminan terhadap sumbu x

Matriks percerminan :

b. Pencerminan Terhadap sumbu y

Matriks Pencerminan:

c. Pencerminan terhadap garis y = x

Matriks Pencerminan

d. Pencerminan terhadap garis y = -x

Matriks Pencerminan:

e. Pencerminan terhadap garis x = h

Matriks Pencerminan:

Sehingga:

f. Pencerminan terhadap garis y=k

Matriks Pencerminan :

Sehingga:

g. Pencerminan terhadap titik asal O (0, 0)

Matriks Pencerminan :

Sehingga:

h. Pencerminan terhadap garis y = mx dimana m = tan q

Contoh :

Tentukan bayangan persamaan garis y = 2x – 5 oleh translasi

Jawab :

Ambil sembarang titik pada garis y = 2x – 5, misalnya (x, y) dan titik bayangan oleh translasi

adalah (x’, y’) sehingga ditulis

Atau

x’ = x + 3

x = x’- 3 ..... (1)

y’ = y – 2

y = y’ + 2 ......(2)

Persamaan (1) dan (2) disubtitusikan pada persamaan garis semula, sehingga :

y = 2x – 5

y’ + 2 = 2 (x’- 3) – 5

y’ = 2x’ – 6 – 5 – 2

y’ = 2x’ – 13

Jadi persamaan garis bayangan y = 2x – 5 oleh translasi

adalah y = 2x – 13 .

SOAL LATIHAN MATEMATIKA INTEGRAL

Penyelesaian :
$\int \left ( \sqrt{x}+\frac{3}{x^2} \right )dx=\int \left ( x^{\frac{1}{2}}+3x^{-2} \right )dx \\ \\ =\frac{1}{\frac{1}{2}+1}x^{\frac{1}{2}+1}+\frac{3}{-2+1}x^{-2+1}+C \\ \\ =\frac{1}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}}+\frac{3}{-1}x^{-1}+C \\ \\=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-\frac{3}{x}+C$ jawab (C)

Penyelesaian :

Fungsi kurva dapat dicari dengan integral sebagai berikut :

$\frac{dy}{dx}=6x^2-2x+1 \Rightarrow dy=\left(6x^2-2x+1 \right )dx \\ \\ \Rightarrow \int dy=\int \left(6x^2-2x+1 \right )dx \\ \\ \Rightarrow y=\int \left(6x^2-2x+1 \right )dx \\ \\ \Rightarrow y=2x^3-x^2+x+C$

Untuk mencari nilai C kita dapat menghitungnya dengan kenyataan bahwa fungsi melalui titik (1, 4) atau f(1) = 4, sehingga :

$f(1)=4 \Rightarrow 2(1)^3-(1)^2+1+C=4 \Rightarrow 2 \times 1 -1+1+C=4 \\ \\ \Rightarrow 2+C=4 \Rightarrow C=2.$

Sehingga fungsi kurva dapat kita tulis :

Jawab (C)

Penyelesaian :
Kita menyelesaikan integral ini dengan mengingat rumus trigonometri berikut :
==========================
$\sin 2x=2\sin x \cos x$
==========================
Dengan menggunakan rumus di atas, maka
$\sin 4x \cos 4x = \frac{1}{2} \sin 8x$
Sehingga integralnya dapat kita hitung sebagai berikut :
$\int \sin 4x \cos 4x dx= \int \frac{1}{2} \sin 8x dx$
Misalkan y=8x maka dy=8dx atau dx=(1/8)dy, jadi
$= \int \frac{1}{2} \sin y \left( \frac{1}{8}dy \right )=\frac{1}{16} \int \sin y dy \\ \\=-\frac{1}{16} \cos y +C = -\frac{1}{16} \cos 8x +C$
Jawab (C)

Penyelesaian :
Untuk menyelesaikan integral ini, kita mengingat rumus-rumus berikut :
===========================
$\cos 2x=2\cos^2x-1 \\ \cos 2x=1-2\sin^2x \\ \cos 2x=\cos^2x-\sin^2x$
===========================
atau dapat juga ditulis :
===========================
$\cos^2x=\frac{1}{2}\left(\cos 2x+1 \right ) \\ \sin^2x=\frac{1}{2}\left(1-\cos 2x \right )$
===========================

Jadi,
$\cos^23x=\frac{1}{2}\left(\cos 6x+1 \right )$

Dan integral dapat ditulis sebagai berikut :
$\int \cos^23x dx=\int \frac{1}{2}\left(\cos 6x+1 \right ) dx \\ \\ =\frac{1}{2}\times \left( \frac{1}{6}\sin6x+x\right ) +C=\frac{1}{2}x+\frac{1}{12}\sin6x +C.$
Jawab (D)

Penyelesaian :
Kiita dapat menyelesaikan integral ini dengan substitusi karena $\frac{d}{dx}\left(x^3+\pi \right )=3x^2$ , sehingga jika kita misalkan $y=x^3+\pi$ , akan kita peroleh $\frac{dy}{dx}=3x^2$ atau

atau $x^2dx=\frac{1}{3}dy$ .
Sehingga integral dapat kita tulis :

$\int x^2 \sin \left(x^3+\pi \right )dx=\int \sin \left(x^3+\pi \right )x^2dx \\ \\ =\int \sin y \left(\frac{1}{3}dy \right )=\frac{1}{3}\int \sin ydy\\ \\=-\frac{1}{3}\cos y+C \\ \\=-\frac{1}{3}\cos \left(x^3+\pi \right )+C$
Jawab (A)

Penyelesaian :

$\int_{-1}^{2}\left(x+3 \right )\left(x-1 \right )dx =\int_{-1}^{2}\left(x^2+2x-3 \right )dx \\ \\ =\left[\frac{1}{3}x^3+x^2-3x \right ]_{-1}^{2}\\ \\ =\left(\frac{1}{3}(2)^3+(2)^2-3(2) \right )-\left(\frac{1}{3}(-1)^3+(-1)^2-3(-1)\right )\\ \\ =\left(\frac{8}{3}+4-6\right )-\left(\frac{-1}{3}+1+3\right)\\ \\ =\left(\frac{8}{3}-2\right )-\left(\frac{-1}{3}+4\right) \\ \\ =\left(\frac{8}{3}-\frac{6}{3}\right )-\left(\frac{-1}{3}+\frac{12}{3}\right) \\ \\ =\frac{2}{3}-\frac{11}{3} \\ \\ =\frac{-9}{3}=-3.$

Jawab (C)

Penyelesaian :
$\int_{1}^{2} \left( \frac{x-1}{x^3}\right)dx=\int_{1}^{2} \left(x^{-2}-x^{-3} \right)dx \\ \\ =\left[\frac{1}{-2+1}x^{-2+1}+\frac{1}{-3+1}x^{-3+1} \right ]_{1}^{2} \\ \\ =\left[-x^{-1}-\frac{1}{2}x^{-2}\right ]_{1}^{2} \\ \\ =\left[-\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^{2}}\right ]_{1}^{2} \\ \\ =\left(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2(2)^{2}}\right)-\left(-\frac{1}{1}-\frac{1}{2(1)^{2}}\right) \\ \\ =\left(-\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\right)-\left(-\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right) \\ \\ =\left(-\frac{5}{8}\right)-\left(-\frac{3}{2}\right)\\ \\ =-\frac{5}{8}+\frac{3}{2}=\frac{7}{8}.$
Jawab (C)

Penyelesaian :
$\int_{1}^{a} \left( 4x+3\right)dx=-3 \\ \\ \Rightarrow \left[2x^2+3x \right ]_{1}^{a}=-3 \\ \\ \Rightarrow \left(2a^2+3a\right)-\left(2(1)^2+3(1)\right)=-3 \\ \\ \Rightarrow 2a^2+3a-5=-3 \\ \\ \Rightarrow 2a^2+3a-2=0 \\ \\ \Rightarrow \left(2a-1\right )\left(a+2\right )=0.$
Sehingga 2a-1=0 ==> a=1/2, atau
a+2=0 ==> a=-2.
Jawab (C)

Penyelesaian :
$\int_{a}^{b} \frac{dx}{x^2} =\int_{a}^{b} x^{-2}dx=\left[\frac{1}{-2+1}x^{-2+1} \right ]_{a}^{b} \\ \\=\left[-\frac{1}{x}\right ]_{a}^{b}=-\frac{1}{b}-\left(-\frac{1}{a}\right)=-\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=\frac{b-a}{ab}.$
Jawab (B)

Penyelesaian :
$\int_{0}^{3}f(x)dx=\int_{0}^{1}f(x)dx +\int_{1}^{3}f(x)dx \\ \\=\int_{0}^{1}f(x)dx -\int_{3}^{1}f(x)dx \\ \\=\int_{0}^{1}f(x)dx -\frac{1}{2}\int_{3}^{1}2f(x)dx \\ \\ =2-\frac{1}{2}(2)=2-1=1.$
Jawab (D)

Penyelesaian :
$\int_{0}^{1}f(x)dx=1 \Rightarrow \int_{0}^{1}\left(ax+b\right)dx=1 \Rightarrow \left[\frac{a}{2}x^2+bx\right]_{0}^{1}=1 \\ \\ \Rightarrow \frac{1}{2}a+b=1 \dots (i)\\ \\\int_{1}^{2}f(x)dx=5 \Rightarrow \int_{1}^{2}\left(ax+b\right)dx=1 \Rightarrow \left[\frac{a}{2}x^2+bx\right]_{1}^{2}=1 \\ \\ \Rightarrow \frac{3}{2}a+b=5 \dots(ii)$

Dari persamaan (i) dan (ii) kita peroleh dengan eliminasi,
$\left(\frac{3}{2}a+b\right )-\left(\frac{1}{2}a+b\right )=5-1 \\ \\ a=4 \;\;dan\;\;dari\;\;\frac{1}{2}a+b\right=1\;\;diperoleh\;\;\\ \\\frac{1}{2}(2)+b=1 \Rightarrow b=0\;\;sehingga\;\;a+b=4.$
Jawab (B)

Pages

LOGARITMA

GEOMETRI TRANSFORMASI

SOAL LATIHAN MATEMATIKA INTEGRAL