Nawar Syarif: SOAL LATIHAN MATEMATIKA INTEGRAL

Penyelesaian :
$\int \left ( \sqrt{x}+\frac{3}{x^2} \right )dx=\int \left ( x^{\frac{1}{2}}+3x^{-2} \right )dx \\ \\ =\frac{1}{\frac{1}{2}+1}x^{\frac{1}{2}+1}+\frac{3}{-2+1}x^{-2+1}+C \\ \\ =\frac{1}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}}+\frac{3}{-1}x^{-1}+C \\ \\=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-\frac{3}{x}+C$ jawab (C)

Penyelesaian :

Fungsi kurva dapat dicari dengan integral sebagai berikut :

$\frac{dy}{dx}=6x^2-2x+1 \Rightarrow dy=\left(6x^2-2x+1 \right )dx \\ \\ \Rightarrow \int dy=\int \left(6x^2-2x+1 \right )dx \\ \\ \Rightarrow y=\int \left(6x^2-2x+1 \right )dx \\ \\ \Rightarrow y=2x^3-x^2+x+C$

Untuk mencari nilai C kita dapat menghitungnya dengan kenyataan bahwa fungsi melalui titik (1, 4) atau f(1) = 4, sehingga :

$f(1)=4 \Rightarrow 2(1)^3-(1)^2+1+C=4 \Rightarrow 2 \times 1 -1+1+C=4 \\ \\ \Rightarrow 2+C=4 \Rightarrow C=2.$

Sehingga fungsi kurva dapat kita tulis :

Jawab (C)

Penyelesaian :
Kita menyelesaikan integral ini dengan mengingat rumus trigonometri berikut :
==========================
$\sin 2x=2\sin x \cos x$
==========================
Dengan menggunakan rumus di atas, maka
$\sin 4x \cos 4x = \frac{1}{2} \sin 8x$
Sehingga integralnya dapat kita hitung sebagai berikut :
$\int \sin 4x \cos 4x dx= \int \frac{1}{2} \sin 8x dx$
Misalkan y=8x maka dy=8dx atau dx=(1/8)dy, jadi
$= \int \frac{1}{2} \sin y \left( \frac{1}{8}dy \right )=\frac{1}{16} \int \sin y dy \\ \\=-\frac{1}{16} \cos y +C = -\frac{1}{16} \cos 8x +C$
Jawab (C)

Penyelesaian :
Untuk menyelesaikan integral ini, kita mengingat rumus-rumus berikut :
===========================
$\cos 2x=2\cos^2x-1 \\ \cos 2x=1-2\sin^2x \\ \cos 2x=\cos^2x-\sin^2x$
===========================
atau dapat juga ditulis :
===========================
$\cos^2x=\frac{1}{2}\left(\cos 2x+1 \right ) \\ \sin^2x=\frac{1}{2}\left(1-\cos 2x \right )$
===========================

Jadi,
$\cos^23x=\frac{1}{2}\left(\cos 6x+1 \right )$

Dan integral dapat ditulis sebagai berikut :
$\int \cos^23x dx=\int \frac{1}{2}\left(\cos 6x+1 \right ) dx \\ \\ =\frac{1}{2}\times \left( \frac{1}{6}\sin6x+x\right ) +C=\frac{1}{2}x+\frac{1}{12}\sin6x +C.$
Jawab (D)

Penyelesaian :
Kiita dapat menyelesaikan integral ini dengan substitusi karena $\frac{d}{dx}\left(x^3+\pi \right )=3x^2$ , sehingga jika kita misalkan $y=x^3+\pi$ , akan kita peroleh $\frac{dy}{dx}=3x^2$ atau

atau $x^2dx=\frac{1}{3}dy$ .
Sehingga integral dapat kita tulis :

$\int x^2 \sin \left(x^3+\pi \right )dx=\int \sin \left(x^3+\pi \right )x^2dx \\ \\ =\int \sin y \left(\frac{1}{3}dy \right )=\frac{1}{3}\int \sin ydy\\ \\=-\frac{1}{3}\cos y+C \\ \\=-\frac{1}{3}\cos \left(x^3+\pi \right )+C$
Jawab (A)

Penyelesaian :

$\int_{-1}^{2}\left(x+3 \right )\left(x-1 \right )dx =\int_{-1}^{2}\left(x^2+2x-3 \right )dx \\ \\ =\left[\frac{1}{3}x^3+x^2-3x \right ]_{-1}^{2}\\ \\ =\left(\frac{1}{3}(2)^3+(2)^2-3(2) \right )-\left(\frac{1}{3}(-1)^3+(-1)^2-3(-1)\right )\\ \\ =\left(\frac{8}{3}+4-6\right )-\left(\frac{-1}{3}+1+3\right)\\ \\ =\left(\frac{8}{3}-2\right )-\left(\frac{-1}{3}+4\right) \\ \\ =\left(\frac{8}{3}-\frac{6}{3}\right )-\left(\frac{-1}{3}+\frac{12}{3}\right) \\ \\ =\frac{2}{3}-\frac{11}{3} \\ \\ =\frac{-9}{3}=-3.$

Jawab (C)

Penyelesaian :
$\int_{1}^{2} \left( \frac{x-1}{x^3}\right)dx=\int_{1}^{2} \left(x^{-2}-x^{-3} \right)dx \\ \\ =\left[\frac{1}{-2+1}x^{-2+1}+\frac{1}{-3+1}x^{-3+1} \right ]_{1}^{2} \\ \\ =\left[-x^{-1}-\frac{1}{2}x^{-2}\right ]_{1}^{2} \\ \\ =\left[-\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^{2}}\right ]_{1}^{2} \\ \\ =\left(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2(2)^{2}}\right)-\left(-\frac{1}{1}-\frac{1}{2(1)^{2}}\right) \\ \\ =\left(-\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\right)-\left(-\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right) \\ \\ =\left(-\frac{5}{8}\right)-\left(-\frac{3}{2}\right)\\ \\ =-\frac{5}{8}+\frac{3}{2}=\frac{7}{8}.$
Jawab (C)

Penyelesaian :
$\int_{1}^{a} \left( 4x+3\right)dx=-3 \\ \\ \Rightarrow \left[2x^2+3x \right ]_{1}^{a}=-3 \\ \\ \Rightarrow \left(2a^2+3a\right)-\left(2(1)^2+3(1)\right)=-3 \\ \\ \Rightarrow 2a^2+3a-5=-3 \\ \\ \Rightarrow 2a^2+3a-2=0 \\ \\ \Rightarrow \left(2a-1\right )\left(a+2\right )=0.$
Sehingga 2a-1=0 ==> a=1/2, atau
a+2=0 ==> a=-2.
Jawab (C)

Penyelesaian :
$\int_{a}^{b} \frac{dx}{x^2} =\int_{a}^{b} x^{-2}dx=\left[\frac{1}{-2+1}x^{-2+1} \right ]_{a}^{b} \\ \\=\left[-\frac{1}{x}\right ]_{a}^{b}=-\frac{1}{b}-\left(-\frac{1}{a}\right)=-\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=\frac{b-a}{ab}.$
Jawab (B)

Penyelesaian :
$\int_{0}^{3}f(x)dx=\int_{0}^{1}f(x)dx +\int_{1}^{3}f(x)dx \\ \\=\int_{0}^{1}f(x)dx -\int_{3}^{1}f(x)dx \\ \\=\int_{0}^{1}f(x)dx -\frac{1}{2}\int_{3}^{1}2f(x)dx \\ \\ =2-\frac{1}{2}(2)=2-1=1.$
Jawab (D)

Penyelesaian :
$\int_{0}^{1}f(x)dx=1 \Rightarrow \int_{0}^{1}\left(ax+b\right)dx=1 \Rightarrow \left[\frac{a}{2}x^2+bx\right]_{0}^{1}=1 \\ \\ \Rightarrow \frac{1}{2}a+b=1 \dots (i)\\ \\\int_{1}^{2}f(x)dx=5 \Rightarrow \int_{1}^{2}\left(ax+b\right)dx=1 \Rightarrow \left[\frac{a}{2}x^2+bx\right]_{1}^{2}=1 \\ \\ \Rightarrow \frac{3}{2}a+b=5 \dots(ii)$

Dari persamaan (i) dan (ii) kita peroleh dengan eliminasi,
$\left(\frac{3}{2}a+b\right )-\left(\frac{1}{2}a+b\right )=5-1 \\ \\ a=4 \;\;dan\;\;dari\;\;\frac{1}{2}a+b\right=1\;\;diperoleh\;\;\\ \\\frac{1}{2}(2)+b=1 \Rightarrow b=0\;\;sehingga\;\;a+b=4.$
Jawab (B)

Pages

SOAL LATIHAN MATEMATIKA INTEGRAL

No comments:

Post a Comment