Nawar Syarif: 11/11/11

Menulis Persamaan Matematika di WordPress (3)

Pada bagian ini kita coba bahas tentang bagaimana memodifikasi penampilan latex. Yang bisa diatur antara lain : ukuran huruf, warna huruf, dan warna background.
Review sekali lagi… untuk membuat persamaan matematika di wordpress, kita cukup menyisipkan kode latex di antara tag “$latex” dan “$” (nggak pake tanda quote/petik ya.. itu cuma buat mengecoh wordpress). Kode-kode latex itu sudah sebagian kami bahas di bagian1 dan bagian2. Kali ini kita akan lanjutkan sedikit demi sedikit.
(kenapa sedikit demi sedikit, paman? nggak sekalian aja?)
Yaa.. biar yang baca nggak bosan.. gitu lho. Biar nggak kehabisan materi buat ngisi blog ini juga.. hihihi.

Mengubah Ukuran Hurup
Untuk mengubah ukuran hurup, kita gunakan perintah &s=[ukuran_huruf]. [ukuran_huruf] yang bisa digunakan adalah -4,-3,-2,-1,1,2,3, dan Ukuran -4 yang paling kecil dan 4 yang paling besar.
Contoh:

Kode : ax^2 + bx + c = 0 &s=-4
Latex : $ax^2 + bx + c = 0$

Kode : ax^2 + bx + c = 0 &s=-3
Latex : $ax^2 + bx + c = 0$

Kode : ax^2 + bx + c = 0 &s=-2
Latex : $ax^2 + bx + c = 0$

Kode : ax^2 + bx + c = 0 &s=-1
Latex : $ax^2 + bx + c = 0$

Kode : ax^2 + bx + c = 0 &s=1
Latex : $ax^2 + bx + c = 0$

Kode : ax^2 + bx + c = 0 &s=2
Latex : $ax^2 + bx + c = 0$

Kode : ax^2 + bx + c = 0 &s=3
Latex : $ax^2 + bx + c = 0$

Kode : ax^2 + bx + c = 0 &s=4
Latex : $ax^2 + bx + c = 0$

Mengubah Warna Foreground
Untuk mengubah warna foreground atau warna tulisan, digunakan parameter &fg=[kode_warna]. [kode_warna] yang digunakan adalah format hexadesimal RGB. Yang sering utak-atik HTML, atau desain grafis, dan kawan-kawannya tentu sudah mengenal format ini. Jika &fg=000000 ditambahkan pada kode latex, maka warna tampilan akan menjadi hitam.
Contoh:

Kode : ax^2 + bx + c = 0 &fg=cc0000
Latex : $ax^2 + bx + c = 0$

Kode : ax^2 + bx + c = 0 &fg=006600
Latex : $ax^2 + bx + c = 0$

Kode : ax^2 + bx + c = 0 &fg=F4A460
Latex : $ax^2 + bx + c = 0$

Kode : ax^2 + bx + c = 0 &fg=7FFFD4
Latex : $ax^2 + bx + c = 0$

Mengubah Warna Background
Untuk mengubah warna background, digunakan parameter &bg=[kode_warna]. Kode warna yang digunakan sama dengan kode warna pada foreground.
Contoh:

Kode : ax^2 + bx + c = 0 &bg=7FFFD4
Latex : $ax^2 + bx + c = 0$

Kode : ax^2 + bx + c = 0 &bg=003034
Latex : $ax^2 + bx + c = 0$

Mengubah Format Tampilan Sekaligus
Untuk mengubah ukuran, warna foreground, dan warna background sekaligus, semua paramater dapat dituliskan sekaligus dalam satu urutan tanpa spasi. Contoh : &s=-2&fg=006600&bg=99ffcc

Kode : ax^2 + bx + c = 0 &s=2&fg=000033&bg=33FFD4
Latex : $ax^2 + bx + c = 0$

Kode : ax^2 + bx + c = 0 &s=1&fg=00cc00&bg=000000
Latex : $ax^2 + bx + c = 0$

Catatan:

Urutan &s, &fg, dan &bg tidak mutlak, bebas diurutkan seperti apa pun juga. &s=1&fg=000000&bg=ffffff, sama hasilnya dengan &fg=000000&bg=ffffff&s=-1
Yang penting, posisi ketiga parameter tersebut HARUS sebelum tag penutup $.[]

Grafik Cepat Hitung Balok Beton

Nah, karena judulnya adalah grafik cepat, maka jenis balok yang didesain juga bukan balok yang aneh-aneh, melainkan jenis balok yang paling sederhana, yaitu balok persegi (bukan balok T) Cara paling cepat desain balok beton adalah dengan menggunakan dan sedikit analisa grafik.. :)
Grafik hubungan $\dfrac{\phi M_n}{bd^2}$ versus $\dfrac{A_s}{bd}$ sebenarnya sudah banyak terdapat di buku-buku yang membahas desain balok beton bertulang. Di sini kami coba membuat grafik yang sama. Tapi, kami coba tidak sekedar memberi grafik, tapi juga membuat grafik, bagaimana menurunkan persamaan grafik tersebut.

Kita mulai dengan diagram yang sudah umum digunakan untuk analisa balok.

Persamaan kesetimbangan gaya antara gaya tekan beton dan gaya tarik tulangan. Bisa dituliskan sbb:
$\begin{array}{rl} C &= T \\ 0.85 f'_cab &= f_y A_s \end{array}$
Sehingga,
$a = \dfrac{f_yA_s}{0.85f'_cb}$
Selanjutnya, momen tahanan nominal dari balok tersebut adalah:
$\phi M_n = \phi A_s f_y j_d$
Dimana, $j_d = d - 0.5a$
(ini kan udah dibahas, om?)
Yaaa.. nggak ada salahnya, semakin sering dibahas, semakin membekas di ingatan bukan?
Lanjutkan..!
Kita akan bermain-main sedikin dengan persamaan momen di atas,
$\phi M_n = \phi A_s f_y (d-0.5a)$
Subtitusi nilai a,
$\phi M_n = \phi A_s f_y (d - 0.5\dfrac{A_s f_y}{0.85f'_cb})$
Keluarkan d dari kurungan,
$\phi M_n = \phi A_s f_y d (1 - \dfrac{A_s f_y}{1.7f'_cbd})$
Perhatikan bahwa, $\rho = \dfrac{A_s}{bd}$ ,
sehingga,
$\phi M_n = \phi A_s f_y d (1 - \dfrac{\rho f_y}{1.7f'_c})$
Kalo $\rho=\dfrac{A_s}{bd}$ , maka $A_s = \rho bd$ ,.. hehe..anak SMP juga tau.
Sehingga,
$\phi M_n = \phi f_y \rho bd^2 (1 - \dfrac{\rho f_y}{1.7f'_c})$
Dimodifikasi lagi,
$\dfrac{\phi M_n}{bd^2} = \phi f_y \rho (1 - \dfrac{\rho f_y}{1.7 f'_c})$
Itu dia yang akan kita buat grafiknya!
Biar lebih enak dilihat, kita bisa tuliskan seperti ini:
$\begin{array}{rl} Y &= A \rho (1 - B \rho) \\ \\ Y &= \dfrac{\phi M_n}{bd^2} \\\\ A &= \phi f_y \\\\ B &= \dfrac{f_y}{1.7f'_c} \end{array}$
A dan B adalah konstanta dengan parameter f’c dan fy, Y dan ρ adalah variabel.
Pembatasan Tulangan Maksimum
Menurut SNI, rasio tulangan tidak boleh lebih dari $0.75 \rho_b$ .
Sementara,
$\rho_b = \beta_1 \dfrac{0.85f'_c}{f_y} \big( \dfrac{600}{600+f_y} \big)$
$\beta_1 = 0.85-0.005 ( \dfrac{f'_c-30}{7}) \quad 0.85 \ge \beta_1 \ge 0.65$
Untuk tulangan minimum, menurut SNI,
$\rho_{min} = \text{min } \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{\sqrt{f'_c}}{4f_y} \\\\ \dfrac{1.4}{f_y} \end{array} \right.$
Tinggal digambar grafiknya di MS Excel, dengan menggunakan persamaan di atas, untuk berbagai nilai f’c dan fy.
Hasilnya kurang lebih seperti gambar di bawah:
(klik untuk melihat gambar lebih jelas)

Desain Ekonomis
Untuk desain yang ekonomis, biasanya (kali ini saya pake kata biasanya, soalnya memang ini berdasarkan pengalaman), rasio tulangan diambil paling banyak sekitar 0.45 dari rasio maksimum. Jadi, grafik di atas bisa kita modifikasi sedikit agar bisa difokuskan ke area yang lebih ekonomis.

Ternyata desain yang ekonomis bisa men-support $\dfrac{\phi M_n}{bd^2}$ hingga mencapai angka 4.4.
Apa artinya itu? Lebih baik kita langsung lihat contohnya.
Contoh kasus:
Balok sederhana (dua tumpuan), penampang persegi ukuran bxh:
Panjang bentang, L = 5 m.
Beban ultimate, q = 18 kN/m. (termasuk berat sendiri)
fy = 400 MPa (tulangan ulir)
f’c = 20 MPa
Berapa ukuran penampang, dan tulangan yang dibutuhkan?

Hitung momen ultimate
$M_u = \dfrac18 qL^2 = \dfrac18 18 \times 5^2 = 56.25 \text{ kNm} \\ \phi M_n \ge M_u$
Asumsikan tinggi balok
Sesuai SNI (bisa dilihat di tabel ini), tinggi minimum balok sederhana panjang bentang 5 m, adalah L/16 = 312.5 mm. Kita asumsikan saja tinggi balok = 350 mm.
Asumsikan lebar balok dan tebal selimut.
Lebar balok kita tentukan = 250 mm. Sedangkan tebal selimut beton = 50 mm, sehingga d = 300 mm.
Hitung Y
$Y = \dfrac{\phi M_n}{bd^2} \\\\ Y = \dfrac{56.25E6}{250\times300^2} \\\\ Y = 2.5$
Baca Grafik.
Mulai dari sumbu Y -> cari angka 2.5 -> tarik ke kanan -> berpotongan dengan grafik untuk f’c 20 MPa -> kemudian tarik ke bawah memotong sumbu ρ di titik kurang lebih 0.87%.
Hitung As
$A_s = \rho b d = \dfrac{0.87}{100}250\times300 = 652.5 \text{ mm}^2$
Tentukan jumlah tulangan
Gunakan tulangan 3D19, $A_s = 849 \text{ mm}^2$ .
Kalau perlu hitung ulang tahanan momen lenturnya.
$\rho = \dfrac{849}{250\times 300} = 1.13\%$
Baca grafik, sehingga diperoleh Y = 3.13.
$\phi M_n = 3.13 \times 250 \times 300^2 = 70.425 \text{ kNm}$
Tentu harus lebih besar daripada momen ultimate.

Silahkan berkesperimen melalui contoh di atas dengan menggunakan dimensi penampang yang berbeda-beda, misalnya dengan ukuran balok 200×400, tulangan yang bisa dipasang adalah 2D19, dll.
download:

~~File *xls grafik sedang disiapkan, insya Allah dalam 1-2 hari ini.~~

Update 25/02/2010 : File xls yang kami janjikan masih ada di komputer kami yang sedang rusak (sedang dalam perbaikan), dan mohon maaf karena kami tidak membuat copy (backup) dari file tersebut. Sekali lagi mohon maaf karena janjinya belum bisa ditepati hinggai update ini dibuat.

Update 02/03/2010 : File aslinya masih belum bisa kami akses. Sebagai gantinya, kami buat file yang serupa, namun lebih interaktif.
File xls-nya bisa didownload di sini.
Atau di sini.

Semoga bermanfaat.[]

Judul Menghitung Momen Insersia (2)

Sebenarnya saya lagi menyusun contoh perhitungan balok beton yang lengkap. Tapi karena kelamaan, mending saya lanjut saja sedikit artikel tentang momen inersia. Nulis ini nggak lama kok.. :)
Pada bagian sebelumnya, kita sudah mengetahui formula dasar momen inersia sebuah bangun datar terhadap sumbu netralnya
$I_x = \int y^2 dA$
Kalo momen inersia terhadap sumbu yang BUKAN sumbu netral, formulanya adalah
$I_{x'} = I_x + Ay^2$
Nah, kali ini kita coba bermain dengan bentuk persegi yang lebih kompleks. Salah satu bentuk persegi yang kompleks adalah bentuk profil baja WF sederhana. Saya sengaja pakai kata “sederhana” karena profil baja WF ini benar-benar tersusun dari bentuk dasar persegi. Sementara profil WF yang sebenarnya biasanya ada tambahan bentuk lengkung di daerah-daerah “ketiak” alias pertemuan pelat badan dan pelat sayap.

18-penampang-wf1

Pada gambar di atas, profil WF terdiri dari 3 bentuk persegi: 2 pelat sayap dan 1 pelat badan. Kedua pelat sayap simetris terhadap sumbu netral x-x. Berikut ini cara menghitung momen inersianya:

Formula momen inersia,
$I_{xx} = \Sigma (I_{xi} + A_i{y_i}^2)$
Kita gunakan simbol $\Sigma$ dan indeks $i$ karena obyek penyusun bentuk WF tersebut lebih dari 1.
Indeks-1 : pelat badan
Lebar = $t_w$
Tinggi = $H-2t_f$
Titik pusat pelat badan berimpit dengan titik pusat WF (bisa dibuktikan), sehingga $y_1 = 0$
$I_{x1} = \dfrac{t_w(H-2t_f)^3}{12}$
$A_1{y_1}^2 = 0 \\$
Indeks-2 : pelat sayap atas
Lebar = $B$
Tinggi = $t_f$
$y_2 = \dfrac{H}{2} - \dfrac{t_f}{2} = \dfrac12 (H-t_f)$
$I_{x2} = \dfrac{B{t_f}^3}{12}$
$A_2{y_2}^2 = Bt_f \cdot \big( \dfrac12 (H-t_f) \big) ^2 \quad= \dfrac14 Bt_f(H-t_f)^2$
Indeks-3 : pelat sayap bawah
Lebar = $B$
Tinggi = $t_f$
$y_3 = -(\dfrac{H}{2} - \dfrac{t_f}{2}) = -\dfrac12 (H-t_f)$
$I_{x3} = \dfrac{B{t_f}^3}{12}$
$A_3{y_3}^2 = Bt_f \cdot \big( -\dfrac12 (H-t_f) \big) ^2 \quad= \dfrac14 Bt_f(H-t_f)^2$
Nilainya sama dengan $I_{x2}$ .
Nah.. tinggal dijumlahin semuanya…
$\begin{array}{rl} I_{xx} &= ( I_{x1} + A_1{y_1}^2) + ( I_{x1} + A_1{y_1}^2) + ( I_{x1} + A_1{y_1}^2) \\ \\ &= \big( \dfrac{t_w(H-2t_f)^3}{12}) + 0 \big) + \big( \dfrac{B{t_f}^3}{12} + \dfrac14 Bt_f(H-t_f)^2 \big) + \big( \dfrac{B{t_f}^3}{12} + \dfrac14 Bt_f(H-t_f)^2 \big) \\ \\ I_{xx} &= \big( \dfrac{t_w(H-2t_f)^3}{12} \big) + \big( \dfrac{Bt_f}{6} ({t_f}^2 + 3(H-t_f)^2 ) \big) \end{array}$
Itulah rumus momen inersia sumbu x-x alias $I_{xx}$ pada penampang baja WF sederhana.

Penyederhanaan
Setelah menimbang, mengingat, mempertimbangkan, beberapa hal.. saya coba memutuskan untuk membuat versi sederhana (baca : praktis) dari formula di atas. Rumus di atas memang susah dihapal sampe tujuh turunan!
Nah, kalo liat formula di atas, ada komponen $(H-2t_f)$ dan $(H-t_f)$ . Tinggi $H$ yang dihitung selalu tidak penuh, kadang dikurangi $2t_f$ dan kadang dikurangi $t_f$ . Saya (baca: kita) sih pengennya biar lebih enak dihitung, $H$ -nya dihitung full saja. Kenapa tidak? Kita lihat fakta di lapangan bahwa profil WF atau profil I, perbandingan antara tinggi $H$ dan tebal pelat sayap $t_f$ sebagian besar bernilai $30 \pm 4$ .
Nah, untuk profil baja yang memenuhi perbandingan tersebut, saya coba melakukan trial-error (percobaan yang salah melulu..!!) :D dan akhirnya mencoba membuat formula pendekatan yang lebih sederhana untuk menentukan momen inersia sebuah profil baja IWF.
$I_{xx} \approx \big( \dfrac{t_wH^3}{12} \big) + \dfrac{Bt_f}{6} (t_f^2 + 2.7H^2)$
$\dfrac{H}{t_f} \approx 30 \pm 4$
Faktor Ketiak
Kenyataannya lagi… pada profil baja baik itu profil baja yang hot-rolled maupun yang built-in, hampir selalu ada tambahan bentuk lengkungan di daerah ketiak yang mempunyai radius tertentu.
18-ketiak-wf

Untuk perhitungan eksaknya, tetap bisa dilakukan dan diturunkan formulanya, tapi belum di sini. Intinya adalah adanya tambahan ketiak tersebut membuat momen inersia yang sebenarnya (aktual) menjadi sedikit lebih besar daripada model sederhana di atas.
Oleh karena itu, penurunan rumus praktisnya pun sedikit dimodifikasi sbb:
$I_{xx} \approx \big( \dfrac{t_wH^3}{12} \big) + \dfrac{Bt_f}{6} (t_f^2 + 2.8H^2)$
$\dfrac{H}{t_f} \approx 30 \pm 4$
Bedanya cuma angka 2.7 dan 2.8. Angka 2.7 dipakai jika tidak ingin memperhitungkan faktor ketiak, dan sebaliknya 2.8 jika ingin memperhitungkan ketiak tersebut.
Contoh
Kita ambil salah satu profil baja WF dari tabel Gunung Garuda… (kok Gunung Garuda melulu??)… yaaa… soalnya itu yang paling populer di Indonesia… bukankah orang Indonesia memang suka yang “popularitasnya tinggi?”… (waaah.. mulai nyerempet nih). Yasud… kita ambil profil baja WF 300x150x6.5×9.
Berdasarkan tabel, momen inersia profil tersebut adalah $I_{xx} = 7210 cm^4 \quad = 7210\times 10^4 mm^4$ .
Kita coba hitung-hitung pake formula eksak untuk model sederhananya
$H = 300mm \quad B = 150mm \quad t_w = 6.5mm \quad t_f = 9mm$
$\begin{array}{rl} I_{xx} &= \big( \dfrac{t_w(H-2t_f)^3}{12} \big) + \big( \dfrac{Bt_f}{6} ({t_f}^2 + 3(H-t_f)^2 ) \big) \\ \\ &= \big( \dfrac{6.5(300-2 \cdot 9)^3}{12} \big) + \big( \dfrac{150 \cdot 9}{6} (9^2 + 3(300-9)^2) \big) \\ \\ &= 12147291 + 225 \cdot 254124 \\ \\ I_{xx} &= 6932.5 \times 10^4 mm^4 \end{array}$
Ternyata, untuk WF300x150x6.5×9 tanpa ketiak, momen inersia $I_{xx}$ -nya adalah $6932.5 \times 10^4 mm^4$
Atau.. kira-kira sekitar 96% dari momen inersia dari tabel.
Sekarang kita coba rumus praktisnya. Tapi coba cek dulu perbandingan tinggi dan tebal pelat sayapnya.
$\dfrac{H}{t_f} = \dfrac{300}{9} = 33.333$ , OK!
Untuk yang tanpa ketiak (perbandingan terhadap hitungan eksak):
$\begin{array}{rl} I_{xx} &= \dfrac{t_wH^3}{12} + \dfrac{Bt_f}{6} (t_f^2 + 2.7H^2) \\ \\ &= \dfrac{6.5 \cdot 300^3}{12} + \dfrac{150 \cdot 9}{6} (9^2 + 2.7 \cdot 300^2) \\ \\ &= 14625000 + 225 \times 243081 \\ \\ I_{xx} &= 6931.8 \times 10^4 mm^4 \end{array}$
Galat 0.01% terhadap hitungan eksak.
Sementara untuk rumus praktis dengan ketiak (perbandingan terhadap tabel):
$\begin{array}{rl} I_{xx} &= \dfrac{t_wH^3}{12} + \dfrac{Bt_f}{6} (t_f^2 + 2.8H^2) \\ \\ &= \dfrac{6.5 \cdot 300^3}{12} + \dfrac{150 \cdot 9}{6} (9^2 + 2.8 \cdot 300^2) \\ \\ &= 14625000 + 225 \times 252081 \\ \\ I_{xx} &= 7134.3 \times 10^4 mm^4 \end{array}$
Galat 1% terhadap nilai dari tabel.
Nah,.. kalo ketemu profil baja WF yang properties-nya tidak ada di tabel, atau mungkin kebetulan kita lagi nggak punya tabel? Yaa.. tinggal hitung sendiri saja.. kan sudah ada formulanya dikasih di atas. Kalo susah ingat formulanya, kan sudah tau konsepnya…
$I_{xx} = \Sigma (I_{xi} + A_i{y_i}^2)$ .
Enak tho? Mantep tho??
Rahasia
Psst… ternyata formula praktis di atas juga berlaku untuk momen inersia x-x profil UNP… hihihi.
Epilog:
“paman kok pake istilah ketiak-ketiak sih.. kan jorok… ntar ta’laporin hansip lho paman..”
Waduh… jadi harus pake istilah apa dong??

Pages

Menulis Persamaan Matematika di WordPress (3)

Grafik Cepat Hitung Balok Beton

Judul Menghitung Momen Insersia (2)